त्रिभुज ABC में बिंदु D, E, F भुजाओं BC, CA औ | vedclass

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Question

(B) माना $\overrightarrow{AB} = \vec{c}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ है।तब $\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow

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$2:5$

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(B) माना $\overrightarrow{AB} = \vec{c}$ और $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$ है।तब $\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 1\overrightarrow{AC}}{1+4} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5}$।चूंकि $E$,$CA$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AE} = \frac{2\overrightarrow{AC}}{3+2} = \frac{2\vec{b}}{5}$।अतः,$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = \frac{2\vec{b}}{5} - \vec{c} = \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5}$।चूंकि $F$,$AB$ को $3:7$ के अनुपात में विभाजित करता है,$\overrightarrow{AF} = \frac{3\overrightarrow{AB}}{3+7} = \frac{3\vec{c}}{10}$।अतः,$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{3\vec{c}}{10} - \vec{b} = \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10}$।अब,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF} = \frac{4\vec{c} + \vec{b}}{5} + \frac{2\vec{b} - 5\vec{c}}{5} + \frac{3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{8\vec{c} + 2\vec{b} + 4\vec{b} - 10\vec{c} + 3\vec{c} - 10\vec{b}}{10} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{10}$।बिंदु $K$,$AB$ को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{\vec{c}}{4}$।तब $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AC} = \frac{\vec{c}}{4} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - 4\vec{b}}{4}$।अनुपात = $\frac{(\vec{c} - 4\vec{b})/10}{(\vec{c} - 4\vec{b})/4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ यदि $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच त्रिभुज का आंतरिक कोण है	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ यदि $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान है	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ का मान है	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $\|z\|=1, z \neq 1$ के लिए $\|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})\|$ का अधिकतम मान है	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

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