બિંદુઓ $A(4, 5, 1)$,$B(0, -1, -1)$,$C(3, 9, 4)$ અને $D(-4, 4, 4)$ એ:

આઠ સદિશોના ગણ $V=\{a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}: a, b, c \in\{-1,1\}\}$ ને ધ્યાનમાં લો. $V$ માંથી ત્રણ અસમતલીય સદિશો $2^p$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તો $p$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{p}, \vec{q}$, અને $\vec{r}$ ને $\vec{p}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $ai + j + k$,$i + bj + k$,અને $i + j + ck$ $(a \ne 1, b \ne 1, c \ne 1)$ સમતલીય હોય,તો $\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b} + \frac{1}{1 - c} = $ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સદિશો $\vec{u} = (2+a+b) \hat{i}+(a+2 b+c) \hat{j}-(b+c) \hat{k}$,$\vec{v} = (1+b) \hat{i}+2 b \hat{j}-b \hat{k}$,અને $\vec{w} = (2+b) \hat{i}+2 b \hat{j}+(1-b) \hat{k}$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{R}$ સમતલીય છે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

કૉલમ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને કૉલમ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ સમીકરણ $2 \sin ^2 \theta + \sin ^2 2 \theta = 2$ ના ઉકેલ(ઓ)	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ વિધેય $f(x) = [\frac{6x}{\pi}] \cos [\frac{3x}{\pi}]$ ના અસાતત્યના બિંદુઓ,જ્યાં $[y]$ એ $y$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક દર્શાવે છે	$(q)$ $\frac{\pi}{4}$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ,જેના ધાર સદિશો $\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો,જ્યાં $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે જે $\vec{a}+\vec{b}+\sqrt{3}\vec{c}=\overrightarrow{0}$ નું પાલન કરે છે	$(s)$ $\frac{\pi}{2}$
	$(t)$ $\pi$