एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः $a, b, c$ और $d$ हैं। इसकी भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बने चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

मान लीजिए $\triangle PQR$ एक त्रिभुज है। मान लीजिए $\vec{a}=\overline{QR}, \vec{b}=\overline{RP}$ और $\vec{c}=\overline{PQ}$ है। यदि $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=4\sqrt{3}$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=24$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) \frac{|\vec{c}|^2}{2}-|\vec{a}|=12$
$(B) \frac{|\vec{c}|^2}{2}+|\vec{a}|=30$
$(C) |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|=48\sqrt{3}$
$(D) \vec{a} \cdot \vec{b}=-72$

समतलीय बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं,इस प्रकार कि $(\vec{a} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ और $(\vec{b} - \vec{d}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ है। तब त्रिभुज $ABC$ का बिंदु $D$ है

यदि $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$, $b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$ है, तो List-$I$ की वस्तुओं का List-$II$ के साथ मिलान करें।

$A$. $a-b$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश	$(i) \ 5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$
$B$. यदि $\vec{AB} = a, \vec{BC} = b$ है, तो $\vec{CA} =$	$(ii) \ 2 \hat{i} - \frac{8}{3} \hat{k}$
$C$. यदि $a, b, c$ एक त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश हैं, तो इसका केंद्रक है	$(iii) \ -3 \hat{i} + 4 \hat{k}$
$D$. यदि $d$ एक सदिश है जिसका परिमाण $2 \sqrt{14}$ है और यह सदिश $a$ के समानांतर है, तो $b + d =$	$(iv) \ -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6 \hat{k}}{\sqrt{73}}$
	$(v) \ 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$

एक चतुर्भुज $ABCD$ में, बिंदु $P$, $DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है और $Q$, $AC$ का मध्य बिंदु है। यदि $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ हैं। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई ............. $unit$ है।