$b$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગુણાકાર શોધો જેથી સમીકરણોની સિસ્ટમ $2x + 5y + z = 19$,$-4x + by + 6z = -42$,અને $-3y - bz = 81$ નો કોઈ ઉકેલ ન મળે.

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 3y - z = -2$; $x + y + z = 4$; $x - y + |\lambda|z = 4\lambda - 4$ (જ્યાં $\lambda \in R$) ને કોઈ ઉકેલ ન હોય,તો:

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{3}{z}-1=0$,$\frac{2}{x}-\frac{4}{y}+\frac{3}{z}-1=0$ અને $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}-\frac{6}{z}-4=0$ નો ઉકેલ $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ હોય,તો $\alpha^2+\gamma^2=$

જો $x=a, y=b, z=c$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=4$, $x-y+z=2$, અને $x+2y+2z=1$ નો ઉકેલ હોય, તો $ab+bc+ca=$

વિધાન $-1$: સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં $\alpha$ ની માત્ર એક કિંમત માટે શૂન્યેતર ઉકેલ છે.
વિધાન $-2$: $\alpha$ માં સમીકરણ
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં માત્ર એક ઉકેલ છે.

જો $(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $3x + 4y - 5z = -6$,$2x + 3y - 4z = -7$,અને $4x - 2y + z = 9$ સમીકરણોની સંહતિનો ઉકેલ હોય,તો $\alpha + 3\beta - 2\gamma$ ની કિંમત શોધો.