किन्हीं $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा किससे विभाज्य होता है?

मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ एक टीम में खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, \dots, 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने फाइनल मैच में $100$ सोने के सिक्के जीते। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी को अपनी टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले,लेकिन कप्तान और उप-कप्तान को अपनी टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलें। यदि कप्तान $A_1$ और उप-कप्तान $A_2$ हैं,तो इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

$6$ काली और $4$ हरी गेंदों में से $4$ गेंदें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं ताकि कम से कम एक काली गेंद चुनी जाए?

यदि $\binom{n}{3} + \binom{n}{4} > \binom{n+1}{3}$ है,तो:

अंकों $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के $4$ अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनमें प्रत्येक संख्या में दो विषम अंक और दो सम अंक हों?

जब अंश और हर दोनों अपने अधिकतम मान पर हों,तो $\frac{{}^{10}C_{r}}{{}^{11}C_{r}}$ का मान क्या होगा?