किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या (radius of gyration) किस पर निर्भर करती है?

$M$ द्रव्यमान,$L$ लंबाई और $R$ त्रिज्या वाले एक बेलन की उसके केंद्र से गुजरने वाली और बेलन की अक्ष के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = M \left(\frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}\right)$ है। यदि दिए गए पदार्थ के द्रव्यमान के लिए ऐसा बेलन बनाया जाना है,तो न्यूनतम $I$ प्राप्त करने के लिए $L/R$ का अनुपात क्या होगा?

$1 \ m$ लंबाई की एक हल्की छड़ के दोनों सिरों पर $5 \ kg$ द्रव्यमान के दो गोले $A$ और $B$ जुड़े हुए हैं। इन गोलों को बिंदु द्रव्यमान मानते हुए,$A$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण और छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समान द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ के दो छल्लों (rings) को इस प्रकार रखा गया है कि उनके केंद्र संपाती हैं और उनके तल एक-दूसरे के लंबवत हैं। केंद्र से गुजरने वाली और किसी एक छल्ले के लंबवत अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण क्या होगा?

सूची-$I$	सूची-$II$
$(a)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $L$,द्रव्यमान $M$,छड़ के लंबवत और मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(i) \frac{8ML^2}{3}$
$(b)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $L$,द्रव्यमान $2M$,छड़ के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(ii) \frac{ML^2}{3}$
$(c)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $2L$,द्रव्यमान $M$,छड़ के लंबवत और मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(iii) \frac{ML^2}{12}$
$(d)$ छड़ का जड़त्व आघूर्ण $(MI)$ (लंबाई $2L$,द्रव्यमान $2M$,छड़ के लंबवत और एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः)	$(iv) \frac{2ML^2}{3}$

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

$R$ त्रिज्या वाले दो ठोस गोले $A$ और $B$ क्रमशः $\rho_A$ और $\rho_B$ घनत्व वाले पदार्थों से बने हैं। व्यास के परितः उनके जड़त्व आघूर्ण क्रमशः $I_A$ और $I_B$ हैं। $\frac{I_A}{I_B}$ का मान क्या है?