वृत्तों x^2+y^2+2x+4y+1=0 और x^2+y^2-2x-4y-4= | vedclass

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Question

(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।

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$\sqrt{39}$

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(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+4y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है। $(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2-2\lambda)x + (4-4\lambda)y + (1-4\lambda) = 0$. $(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}x + \frac{4(1-\lambda)}{1+\lambda}y + \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} = 0$. यह वृत्त $x^2+y^2-6=0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है। लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है। यहाँ $g_1 = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}, f_1 = \frac{2(1-\lambda)}{1+\lambda}, c_1 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda}$ और $g_2=0, f_2=0, c_2=-6$. मान रखने पर,$0 = \frac{1-4\lambda}{1+\lambda} - 6 \implies 1-4\lambda-6-6\lambda = 0 \implies \lambda = -1/2$. $\lambda = -1/2$ रखने पर,$x^2+y^2+6x+12y+6=0$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+6^2-6} = \sqrt{9+36-6} = \sqrt{39}$.

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