અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નિયામક વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું એક અતિવલય (hyperbola) બિંદુ $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષ પર તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $8$ છે. તો તેના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

રેખા $2x + \sqrt{6}y = 2$ એ વક્ર $x^2 - 2y^2 = 4$ નો સ્પર્શક છે. તો સ્પર્શબિંદુ શોધો.

અતિવલય $9x^{2} - 36x - 16y^{2} + 96y - 252 = 0$ નું કેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$a > 0, b > 0$,એક અતિવલય છે કે જેથી તેના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો $4(2\sqrt{2}+\sqrt{14})$ છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{11}}{2}$ હોય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $3x^2 - y^2 = 8$ ના અભિલંબનું સમીકરણ,જે રેખા $x + 3y = 10$ ને સમાંતર હોય,તે શોધો.