फलन f(x) = x^2 + frac{1}{x^2+1} का परिसर (ran | vedclass

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Question

(A) माना $y = x^2 + \frac{1}{x^2+1}$.माना $t = x^2$. चूँकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए $t \geq 0$.तब $y = t + \frac{1}{t+1} = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1$.

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$[1, \infty)$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = x^2 + \frac{1}{x^2+1}$.माना $t = x^2$. चूँकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए $t \geq 0$.तब $y = t + \frac{1}{t+1} = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1$.चूँकि $t \geq 0$,इसलिए $t+1 \geq 1$.$t+1$ और $\frac{1}{t+1}$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ का उपयोग करने पर:$\frac{(t+1) + \frac{1}{t+1}}{2} \geq \sqrt{(t+1) \cdot \frac{1}{t+1}} = 1$.अतः,$(t+1) + \frac{1}{t+1} \geq 2$.इसलिए,$y = (t+1) + \frac{1}{t+1} - 1 \geq 2 - 1 = 1$.न्यूनतम मान $t=0$ (अर्थात $x=0$) पर प्राप्त होता है,जहाँ $f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$.अतः,फलन का परिसर $[1, \infty)$ है.

फलन $f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2+1}$ का परिसर (range) है

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