समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी तत्व के विघटन की दर उस समय उसके द्रव्यमान के समानुपाती है। तो वह समय जिसके दौरान $6 \text{ gm}$ का मूल द्रव्यमान घटकर $3 \text{ gm}$ हो जाएगा,किसके समानुपाती है?

सत्यापित कीजिए कि फलन $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ जहाँ $c_{1}, c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ का एक हल है।

वक्रों का वह परिवार जिसमें किसी भी बिंदु पर उप-स्पर्शरेखा (sub-tangent) भुज (abscissa) की दोगुनी है,किसके द्वारा दिया जाता है?

मान लीजिए $I$ एक उपकरण का क्रय मूल्य है और $V(t)$ $t$ वर्षों तक उपयोग किए जाने के बाद उसका मूल्य है। मूल्य $V(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dV(t)}{dt} = -k(T - t)$ द्वारा दी गई दर से घटता है,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है और $T$ उपकरण का कुल जीवनकाल वर्षों में है। तो उपकरण का स्क्रैप मूल्य $V(T)$ क्या होगा?

अवकल समीकरण $2xy \, dy = (x^2 + y^2 + 1) dx$ क्या निर्धारित करता है?

रेडियम के क्षय की दर किसी भी समय $t$ पर उपस्थित मात्रा के समानुपाती होती है। यदि प्रारंभ में $60 \text{ gms}$ उपस्थित था और रेडियम की अर्ध-आयु $1600 \text{ years}$ है, तो $3200 \text{ years}$ के बाद उपस्थित रेडियम की मात्रा क्या होगी ($\text{ grams}$ में)?