हाइड्रोजन परमाणु की $3^{rd}$ और $5^{th}$ बोहर कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात क्या है?

$m$ द्रव्यमान का एक कण केंद्रीय बल $F(r) = -kr$ के प्रभाव में एक वृत्तातीय कक्षा में गति कर रहा है,जो स्थितिज ऊर्जा $V(r) = \frac{1}{2}kr^2$ के अनुरूप है,जहाँ $k$ एक धनात्मक बल नियतांक है और $r$ मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी है। बोहर के क्वांटमीकरण नियम के अनुसार,कण का कोणीय संवेग $L = n\hbar$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hbar = \frac{h}{2\pi}$,$h$ प्लांक नियतांक है,और $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। यदि $v$ और $E$ क्रमशः कण की चाल और कुल ऊर्जा हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से व्यंजक सही है/हैं?
$(A)$ $r^2 = n\hbar \sqrt{\frac{1}{mk}}$
$(B)$ $v^2 = n\hbar \sqrt{\frac{k}{m^3}}$
$(C)$ $\frac{L}{mr^2} = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$(D)$ $E = \frac{n\hbar}{2} \sqrt{\frac{k}{m}}$

परमाणु क्रमांक $Z$ वाला एक हाइड्रोजन जैसा परमाणु $2n$ क्वांटम संख्या की उत्तेजित अवस्था में है। यह $204 \ eV$ का अधिकतम ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है। यदि यह क्वांटम अवस्था $n$ में संक्रमण करता है,तो $40.8 \ eV$ ऊर्जा का फोटॉन उत्सर्जित होता है। $n$ का मान होगा

परमाणु क्रमांक $Z$ वाले हाइड्रोजन-जैसे परमाणु की $n=3$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन पर विचार करें। परम तापमान $T$ पर,$k_B T$ ऊष्मीय ऊर्जा वाले एक न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य इस इलेक्ट्रॉन के समान है। यदि यह तापमान $T = \frac{Z^2 h^2}{\alpha \pi^2 a_0^2 m_N k_B}$ द्वारा दिया गया है,(जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$m_N$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है और $a_0$ हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम बोहर त्रिज्या है),तो $\alpha$ का मान $....$ है।

बोहर के मॉडल में $He^{+}$ की $2^{nd}$ कक्षा की त्रिज्या $r_1$ है और $Be^{3+}$ की चौथी कक्षा की त्रिज्या $r_2$ है। यदि अनुपात $\frac{r_2}{r_1}$,$x : 1$ है,तो $x$ का मान ......... है।

हाइड्रोजन परमाणु की सबसे आंतरिक इलेक्ट्रॉन कक्षा की त्रिज्या $5.3 \times 10^{-11} \ m$ है। तो $n=2$ और $n=3$ के लिए कक्षाओं की त्रिज्याओं का अनुपात क्या है?