બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના $A.M.$ અને $G.M.$ નો ગુણોત્તર $m: n$ છે. સાબિત કરો કે $a: b = (m + \sqrt{m^{2} - n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2} - n^{2}}).$

ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
$A.M. = \frac{a+b}{2}$ અને $G.M. = \sqrt{ab}.$
આપેલ શરત મુજબ,
$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{m}{n}$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}}{4ab} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow (a+b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow a+b = \frac{2\sqrt{ab}m}{n} \quad \dots(1)$
નિત્યસમ $(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(a-b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}} - 4ab = \frac{4ab(m^{2}-n^{2})}{n^{2}}$
$\Rightarrow a-b = \frac{2\sqrt{ab}\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n} \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2a = \frac{2\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}),$
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$
$a$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $b = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m - \sqrt{m^{2}-n^{2}})$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}}.$
આમ,$a:b = (m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$