0 leq x leq frac{2pi}{3} के लिए फलन f(x) = 1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है,$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(x) = 1 + 2 \sin x + 3(1 -

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$13 : 9$

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(B) दिया गया है,$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(x) = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$. मान लीजिए $t = \sin x$. चूँकि $0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$,$t$ का परिसर $[0, 1]$ है। $f(t) = -3t^2 + 2t + 4$. यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = \frac{1}{3}$ पर है। चूँकि $\frac{1}{3} \in [0, 1]$,अधिकतम मान $f(\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$ है। अंतराल $[0, 1]$ में न्यूनतम मान अंतिम बिंदुओं $t = 0$ या $t = 1$ पर प्राप्त होता है। $f(0) = 4$ और $f(1) = 3$. अतः,न्यूनतम मान $3$ है। अधिकतम और न्यूनतम का अनुपात $\frac{13/3}{3} = \frac{13}{9}$ अर्थात $13 : 9$ है।

$0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$ के लिए फलन $f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$ द्वारा प्राप्त अधिकतम और न्यूनतम मानों का अनुपात है

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