5^{99} को 11 से विभाजित करने पर शेषफल क्या हो | vedclass

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Question

(A) फर्मा के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 11) = 1$,इसलिए $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ होता है।$5^{99} = 5^{90} \cdo

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(A) फर्मा के छोटे प्रमेय के अनुसार,चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है और $\gcd(5, 11) = 1$,इसलिए $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ होता है।$5^{99} = 5^{90} \cdot 5^9 = (5^{10})^9 \cdot 5^9$.चूँकि $5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$,इसलिए $(5^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{11}$ होगा।अब,$5^9 \pmod{11}$ की गणना करते हैं:$5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$.$5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$.$5^8 = (5^4)^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{11}$.$5^9 = 5^8 \cdot 5^1 \equiv 4 \cdot 5 = 20 \equiv 9 \pmod{11}$.अतः,$5^{99} \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{11}$।शेषफल $9$ है।

$5^{99}$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?

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