$3^{91}$ ને $80$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી થાય?

$1$ કરતા મોટી એવી નાનામાં નાની ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે જે તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $49^n + 16n - 1$ ને ભાગી શકે?

જ્યારે $(2021)^{2022} + (2022)^{2021}$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

વિધાન $-1$: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(n + 1)^7 - n^7 - 1$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
વિધાન $-2$: દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

જો $n \in N$ હોય,તો ${11^{n + 2}} + {12^{2n + 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જ્યારે $5^{99}$ ને $13$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?