समीकरण $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$ के मूल हैं

मान लीजिए $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो,समीकरण $[e^{x}]^{2} + [e^{x} + 1] - 3 = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x \in \mathbb{R}$ के मान किस अंतराल में स्थित हैं?

मान लीजिए कि $S$,अंतराल $(-3, 7)$ में $\lambda$ के उन सभी संभावित पूर्णांक मानों का समुच्चय है जिनके लिए द्विघात समीकरण $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ के मूल परिमेय संख्याएँ हैं। तो $S$ के तत्वों का योग क्या है?

समीकरण $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $A, G$ और $H$ दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं। यदि $\alpha$ समीकरण $A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G) = 0$ के दो मूलों में से सबसे छोटा है,तो:

$\alpha$ के उन सभी संभावित धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या क्या है जिनके लिए द्विघात समीकरण $6x^2 - 11x + \alpha = 0$ के मूल परिमेय संख्याएँ हैं?