$\lambda$ ની વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ શોધો જેના માટે સદિશો $\lambda \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $2 \lambda \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય.

જો $\triangle ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ હોય જેમાં $BC$ કર્ણ હોય, અને $B$ તથા $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = 5\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ હોય, તો $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BA} \cdot \vec{BC} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$ નું મૂલ્ય છે:

ધારો કે ત્રણ સદિશો $\overrightarrow{a}=\alpha \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=5 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$,અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેથી $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $5 \sqrt{6}$ છે. જો $\alpha$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $|\overrightarrow{c}|^2$ શું થાય?

જો સદિશો $3i + \lambda j + k$ અને $2i - j + 8k$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો ત્રણ એકમ સદિશો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ નું પાલન કરતા હોય,તો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો સદિશો $|a - c| = |b - c|$ શરતનું પાલન કરતા હોય,તો $(b - a) \cdot \left( c - \frac{a + b}{2} \right)$ ની કિંમત કેટલી થાય?