रेखा y-x=1 और वक्र x=y^2 के बीच की न्यूनतम दू | vedclass

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Question

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है। वक्र $x = y^2$ है। माना वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है। बिंदु $P$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|y^2

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$\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है। वक्र $x = y^2$ है। माना वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है। बिंदु $P$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ है। चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $y^2 - y + 1 > 0$ है,इसलिए $d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ होगा। न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = y^2 - y + 1$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं। अवकलन करने पर,$f'(y) = 2y - 1$ प्राप्त होता है। $f'(y) = 0$ रखने पर $y = \frac{1}{2}$ मिलता है। न्यूनतम मान $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ है। अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ है।

रेखा $y-x=1$ और वक्र $x=y^2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

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