बिंदु $(1,1)$ से अतिपरवलय $2x^2-y^2=4$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की ढाल क्या है?

मान लीजिए $P(\frac{\pi}{4}), Q(\frac{5 \pi}{4}), R(\frac{3 \pi}{4}), T(\frac{7 \pi}{4})$ अतिपरवलय $x^2-4y^2-4=0$ पर प्राचलिक रूप में बिंदु हैं। तो चतुर्भुज $PQRT$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{2}$ में)

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ पर,रेखा $2x-y=1$ के समांतर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। अतिपरवलय पर स्पर्श बिंदु हैं:
$(A) \left(\frac{9}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(B) \left(-\frac{9}{2\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$(C) (3\sqrt{3}, -2\sqrt{2})$
$(D) (-3\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$

यदि रेखा $ax + by = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{p^2} - \frac{y^2}{q^2} = 1$ का अभिलंब है,तो $\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $a, b, p, q \in R^+$):

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से,अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। उस बिंदु की स्पर्श जीवा (chord of contact) और अनंतस्पर्शी (asymptotes) द्वारा निर्मित आकृति का क्षेत्रफल क्या है?

अतिपरवलय $2 x^2+5 x y+2 y^2-11 x-7 y-4=0$ के अनंतस्पर्शी (asymptotes) का समीकरण क्या है?