frac{dy}{dx} = frac{y}{x} + tan frac{y}{x} का | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 	an \frac{y}{x}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $v = \frac{y}{x}$, इसलिए $y = vx$। $x$ के

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$x = c \sin(y/x)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 	an \frac{y}{x}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है।माना $v = \frac{y}{x}$, इसलिए $y = vx$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + 	an v$।दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = 	an v$।चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{	an v} = \frac{dx}{x}$, जो कि $\cot v \, dv = \frac{dx}{x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = \int \frac{dx}{x}$।इससे $\ln |\sin v| = \ln |x| + \ln |c|$ प्राप्त होता है।लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर: $\ln |\sin v| = \ln |cx|$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\sin v = cx$।$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर: $\sin(\frac{y}{x}) = cx$, या $x = c \sin(\frac{y}{x})$।

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}$ का हल है

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