cos (x + y) , dy = dx का हल ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x + y) \, dy = dx$ ... $(i)$ माना $x + y = v$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका

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$y = 	an \left( \frac{x + y}{2} ight) + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x + y) \, dy = dx$ ... $(i)$ माना $x + y = v$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$. इन मानों को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos v \left( \frac{dv}{dx} - 1 ight) = 1$. यह सरल होकर $\cos v \frac{dv}{dx} = 1 + \cos v$ हो जाता है,या $\frac{\cos v}{1 + \cos v} \, dv = dx$. सर्वसमिका $\cos v = 2 \cos^2(v/2) - 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{2 \cos^2(v/2) - 1}{2 \cos^2(v/2)} \, dv = dx$,जो सरल होकर $\left( 1 - \frac{1}{2} \sec^2(v/2) ight) \, dv = dx$ हो जाता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$v - 	an(v/2) = x + c$ प्राप्त होता है। $v = x + y$ वापस रखने पर,$(x + y) - 	an \left( \frac{x + y}{2} ight) = x + c$,जो सरल होकर $y = 	an \left( \frac{x + y}{2} ight) + c$ हो जाता है।

$\cos (x + y) \, dy = dx$ का हल ज्ञात कीजिए।

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