$y{e^{ - x/y}}dx - (x{e^{ - x/y}} + {y^3})dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y - \cos y = x$ એ વિકલ સમીકરણ $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ નો ઉકેલ છે.

વિકલ સમીકરણ $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$ નો $x=0, y=1$ આગળ ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા વક્રોના પરિવારમાંથી $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો વક્ર કયો છે?

ધારો કે $b$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=1$. જો $f$ નું વિકલિત $f^{\prime}$ એ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ નું પાલન કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $b>0$ હોય,તો $f$ એ વધતું વિધેય છે
$(B)$ જો $b < 0$ હોય,તો $f$ એ ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $f(x)f(-x)=1$ દરેક $x \in R$ માટે
$(D)$ $f(x)-f(-x)=0$ દરેક $x \in R$ માટે