अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y - x}{y - x | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y - x - 1}$ है। मान लीजिए $y - x = t$,तो $\frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dt}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{

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परवलय

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y - x - 1}$ है। मान लीजिए $y - x = t$,तो $\frac{dy}{dx} - 1 = \frac{dt}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} + 1$. इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{dt}{dx} + 1 = \frac{t}{t - 1}$. $\frac{dt}{dx} = \frac{t}{t - 1} - 1 = \frac{t - (t - 1)}{t - 1} = \frac{1}{t - 1}$. चरों को अलग करने पर: $(t - 1) dt = dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (t - 1) dt = \int dx \Rightarrow \frac{t^2}{2} - t = x + C$. $t = y - x$ रखने पर: $\frac{(y - x)^2}{2} - (y - x) = x + C$. $(y - x)^2 - 2(y - x) = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y + 2x = 2x + 2C \Rightarrow (y - x)^2 - 2y = K$. $y(-5) = -5$ दिया गया है,इसलिए $(-5 - (-5))^2 - 2(-5) = K \Rightarrow 0 + 10 = K \Rightarrow K = 10$. समीकरण $(y - x)^2 - 2y = 10$ प्राप्त होता है,जो $y^2 - 2xy + x^2 - 2y - 10 = 0$ है। विविक्तकर $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ है। चूँकि विविक्तकर $0$ है,इसलिए यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y - x}{y - x - 1}$ का हल,जहाँ $y(-5) = -5$ दिया गया है,क्या दर्शाता है?

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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