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Question

(A) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = f(x)$ प

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(A) दिया गया समाकल समीकरण: $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ है। कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = f(x)$ प्राप्त होता है। यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = y$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |y| = x + C$,जिसका अर्थ है $y = Ae^x$। दिए गए समीकरण से,$f(0) = \int_0^0 f(t) \, dt = 0$ है। $y = Ae^x$ में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,हमें $0 = Ae^0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A = 0$। अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) = 0$ है। इस प्रकार,$f(\ln 5) = 0$।

मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ को संतुष्ट करता है। तो $f(\ln 5)$ का मान है

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