अवकल समीकरण cos (x+y) frac{dy}{dx} = 1 का व्य | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$. माना $x+y = V$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,जिसका अर

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$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight) + c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$. माना $x+y = V$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx} - 1$. इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos V \left(\frac{dV}{dx} - 1ight) = 1$. इसे सरल करने पर $\cos V \frac{dV}{dx} = 1 + \cos V$ प्राप्त होता है। समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int \frac{\cos V}{1 + \cos V} dV = \int dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \left[ \frac{1 + \cos V}{1 + \cos V} - \frac{1}{1 + \cos V} ight] dV = \int dx$. यह $\int dV - \int \frac{1}{2 \cos^2 (V/2)} dV = \int dx$ बन जाता है,जो $\int dV - \frac{1}{2} \int \sec^2 (V/2) dV = \int dx$ है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $V - \frac{1}{2} \cdot \frac{	an (V/2)}{1/2} = x + c$. अतः,$V - 	an (V/2) = x + c$. $V = x+y$ वापस रखने पर: $(x+y) - 	an \left(\frac{x+y}{2}ight) = x + c$. इस प्रकार,$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight) + c$ प्राप्त होता है।

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