अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y = x^3y^6 का हल | vedclass

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Question

(B) चरण $1$: समीकरण को $xy^6$ से विभाजित करने पर $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy^5} = x^2$ प्राप्त होता है।चरण $2$: माना $v = y^{-5}$, तब $

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$y^{-5} = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$

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(B) चरण $1$: समीकरण को $xy^6$ से विभाजित करने पर $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy^5} = x^2$ प्राप्त होता है।चरण $2$: माना $v = y^{-5}$, तब $\frac{dv}{dx} = -5y^{-6} \frac{dy}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{1}{y^6} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{5} \frac{dv}{dx}$।चरण $3$: समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{5} \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = x^2$, जो सरल होकर $\frac{dv}{dx} - \frac{5}{x}v = -5x^2$ बनता है।चरण $4$: समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{5}{x} dx} = e^{-5 \ln x} = x^{-5}$ है।चरण $5$: हल $v \cdot x^{-5} = \int (-5x^2) \cdot x^{-5} dx = \int -5x^{-3} dx = -5 \frac{x^{-2}}{-2} + c = \frac{5}{2}x^{-2} + c$ है।चरण $6$: $x^5$ से गुणा करने पर, $v = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$ प्राप्त होता है, अतः $y^{-5} = \frac{5}{2}x^3 + cx^5$।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = x^3y^6$ का हल है:

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