y(1) = frac{pi}{2} નું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકર | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.$e^{2y}$ વડે

Vedclass · Accepted Answer

$x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{2y}(1 + \ln x)dx + \csc y(2 + \cot y)dy = 0$.પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\csc y(2 + \cot y)dy = -e^{2y}(1 + \ln x)dx$.$e^{2y}$ વડે ભાગતા: $e^{-2y}(\csc y(2 + \cot y))dy = -(1 + \ln x)dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-2y}(2\csc y + \csc y \cot y)dy = -\int (1 + \ln x)dx$.ધારો કે $f(y) = e^{-2y} \csc y$. તો $f'(y) = e^{-2y}(-\csc y \cot y) + (-2)e^{-2y} \csc y = -e^{-2y}(\csc y \cot y + 2 \csc y)$.આમ,ડાબી બાજુનું સંકલન $-e^{-2y} \csc y$ થાય છે.જમણી બાજુનું સંકલન $-\int (1 + \ln x)dx = -(x \ln x) + C$ થાય છે.તેથી,$-e^{-2y} \csc y = -x \ln x + C$,જેનું સાદું રૂપ $x \ln x + C = e^{-2y} \csc y = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ થાય છે.શરત $y(1) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ અને $y=\frac{\pi}{2}$ મૂકતા:$1 \cdot \ln(1) + C = \frac{e^{-2(\pi/2)}}{\sin(\pi/2)} \Rightarrow 0 + C = \frac{e^{-\pi}}{1} \Rightarrow C = e^{-\pi}$.તેથી,ઉકેલ $x \ln x + e^{-\pi} = \frac{e^{-2y}}{\sin y}$ છે.

$y(1) = \frac{\pi}{2}$ નું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકરણ $e^{2y} (1 + \ln x)dx + \csc y (2 + \cot y)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} = 2^{y - x}$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $z = z(x)$ અને $(2 + \cos x)\frac{dz}{dx} + (\sin x)z = \sin x$,$z(x) > 0$ અને $z(\frac{\pi}{2}) = 3$ હોય,તો $z(\frac{\pi}{3})$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(2x - 2y + 3)dx - (x - y + 1)dy = 0$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0, y = 1$ હોય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module