समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x & -3 & 2 \\ -1 & -2 & x-1 \\ 1 & x-2 & 3\end{array}\right|=0$ के सभी मूलों का योग क्या है?

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल हैं। तो $\mathbb{R}$ में $y \ne 0$ के लिए,सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \alpha & \beta \\ \alpha & y + \beta & 1 \\ \beta & 1 & y + \alpha \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{bmatrix}$,जहाँ $0 \le \theta < 2\pi$,तो:

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = -2$ और $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 + a^2x & (1 + b^2)x & (1 + c^2)x \\ (1 + a^2)x & 1 + b^2x & (1 + c^2)x \\ (1 + a^2)x & (1 + b^2)x & 1 + c^2x \end{array} \right|$ है,तो $f(x)$ किस घात का बहुपद है?

मान लीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}x^2+x+1 & x+1 & 2x-3 \\ 3x^2-1 & x+2 & x-1 \\ x^2+5x+1 & 2x+3 & x+4\end{array}\right| = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, $x$ में एक सर्वसमिका है। यदि $a, b, c, d$ ज्ञात हैं, तो $e$ का मान क्या है?

$x$ के उन भिन्न मानों का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम (inverse) संभव नहीं है।