समीकरण sin^{-1} 2x = cos^{-1} x के सभी हलों क | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$माना $\cos^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$। चूँकि $\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $x

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$\frac{1}{\sqrt{5}}$

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(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$माना $\cos^{-1} x = 	heta$,तो $x = \cos 	heta$। चूँकि $\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $x \in [-1, 1]$ होना चाहिए।साथ ही,$\sin^{-1} 2x$ को परिभाषित होने के लिए $2x \in [-1, 1]$,अर्थात $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ होना चाहिए।हम जानते हैं कि $x \ge 0$ के लिए $\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$ होता है।अतः,$\sin^{-1} 2x = \sin^{-1} \sqrt{1-x^2}$$\Rightarrow 2x = \sqrt{1-x^2}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4x^2 = 1 - x^2$$\Rightarrow 5x^2 = 1$$\Rightarrow x^2 = \frac{1}{5}$$\Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$हलों की जाँच करने पर:यदि $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ लेते हैं,तो $\sin^{-1}(2(-\frac{1}{\sqrt{5}})) = \sin^{-1}(-\frac{2}{\sqrt{5}})$,जो ऋणात्मक है। लेकिन $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{5}})$ दूसरे चतुर्थांश में है (धनात्मक)। अतः,$x = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ हल नहीं है।यदि $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ लेते हैं,तो $\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}}) = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}})$,जो सत्य है।अतः,एकमात्र हल $x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।

समीकरण $\sin^{-1} 2x = \cos^{-1} x$ के सभी हलों का योग ज्ञात कीजिए।

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