$ \alpha $ के उन सभी मानों का योग, जिनके लिए रेखाओं $ \frac{x+1}{\alpha}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-4}{-\alpha} $ और $ \frac{x}{\alpha}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2\alpha} $ के बीच की न्यूनतम दूरी $ \sqrt{2} $ है, है

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$ में बिंदु $(1,0,7)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरने वाली और $y$-अक्ष तथा $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $\frac{2 \pi}{3}$ और $\frac{3 \pi}{4}$ का कोण बनाने वाली तथा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाने वाली रेखा पर स्थित है?

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $x-1 = \frac{y+2}{2} = \frac{z+4}{4}$ तथा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = z+3$ रेखाओं के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु $-\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ की उस सरल रेखा से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदु $2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ से होकर गुजरती है और सदिश $6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।

मान लीजिए $L_1$ (क्रमशः $L_2$) वह रेखा है जो $2 \hat{i}-\hat{k}$ (क्रमशः $2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$) से होकर गुजरती है और $3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ (क्रमशः $\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$) के समानांतर है। तो रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

यदि बिंदु $A(-1, 3, 2)$,$B(-4, 2, -2)$ और $C(5, 5, \lambda)$ संरेख हैं,तो $\lambda = $