तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग,जि | vedclass

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Question

(B) माना तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $(2k-1)$,$(2k+1)$,और $(2k+3)$ हैं।उनके वर्गों का योग $S = (2k-1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+3)^2$ है।इन पदों का विस्तार करन

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$12$ से लेकिन $24$ से नहीं

Vedclass · Answer

(B) माना तीन क्रमागत विषम संख्याएँ $(2k-1)$,$(2k+1)$,और $(2k+3)$ हैं।उनके वर्गों का योग $S = (2k-1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+3)^2$ है।इन पदों का विस्तार करने पर: $S = (4k^2 - 4k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 12k + 9) = 12k^2 + 12k + 11$ प्राप्त होता है।इस योग में $1$ जोड़ने पर,हमें $S + 1 = 12k^2 + 12k + 12 = 12(k^2 + k + 1)$ प्राप्त होता है।चूँकि $k^2 + k = k(k+1)$ हमेशा एक सम संख्या होती है (क्योंकि यह दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है),माना $k(k+1) = 2m$ है।अतः $S + 1 = 12(2m + 1) = 24m + 12$ है।यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $12$ से विभाज्य है,लेकिन $24$ से नहीं (क्योंकि $12$,$24$ से विभाज्य नहीं है)।अतः,योग $12$ से विभाज्य है लेकिन $24$ से नहीं।

तीन क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का योग,जिसमें $1$ की वृद्धि की गई है,किससे विभाज्य है?

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