શંકુ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કેટલો થાય?

બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. જે બિંદુનું બિંદુ $P$ થી અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના ચલ બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ ઉપવલયના અક્ષોને $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો $QR$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક શંકુ છે જેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e'$ છે,તો:

ઉપવલય $y^{2}+4x^{2}-12x+6y+14=0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

ધારો કે $A_1$ એ આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $A_2$ એ ઉપવલયના નાભિ અને ઉપવલય પરના બિંદુ $P$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના બિંદુપથ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે,તો $A_1 : A_2$ =

જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ અને નાભિઓ $(\pm 4, 0)$ હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.