એક વર્તુળ અને એક ચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો $k$ છે,જ્યાં $k$ અચળ છે. સાબિત કરો કે તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે ચોરસની બાજુ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચોરસની બાજુ $a$ છે.
પરિમિતિનો સરવાળો અચળ $k$ આપેલ છે:
$2 \pi r + 4a = k$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{k - 2 \pi r}{4}$
ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $A$ છે:
$A = \pi r^2 + a^2 = \pi r^2 + \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right)^2$
$r$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi r + 2 \left( \frac{k - 2 \pi r}{4} \right) \left( -\frac{2 \pi}{4} \right) = 2 \pi r - \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા:
$2 \pi r = \frac{\pi(k - 2 \pi r)}{4}$
$8r = k - 2 \pi r$
$r(8 + 2 \pi) = k \Rightarrow r = \frac{k}{2(4 + \pi)}$
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$\frac{d^2A}{dr^2} = 2 \pi + \frac{2 \pi^2}{4} = 2 \pi + \frac{\pi^2}{2} > 0$
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$r$ ના આ મૂલ્ય માટે ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ છે.
$a$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \frac{k - 2 \pi \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right)}{4} = \frac{k(4 + \pi) - \pi k}{4(4 + \pi)} = \frac{4k}{4(4 + \pi)} = \frac{k}{4 + \pi}$
$a$ અને $r$ ની સરખામણી કરતા:
$a = \frac{k}{4 + \pi}$ અને $2r = 2 \left( \frac{k}{2(4 + \pi)} \right) = \frac{k}{4 + \pi}$
આમ,$a = 2r$. સાબિત થાય છે કે જ્યારે ચોરસની બાજુ વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય છે.