समीकरण $\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4 x}{5}\right)=\sin ^{-1}(x)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों का योग है:

माना $k \in R$ के लिए,समीकरण $\cos \left(\sin ^{-1}\left(x \cot \left(\tan ^{-1}\left(\cos \left(\sin ^{-1} x\right)\right)\right)\right)\right)=k$,जहाँ $0 < |x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$,के हल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन केवल मुख्य मान लेते हैं। यदि समीकरण $x^{2}- bx -5=0$ के हल $\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{1}{\beta^{2}}$ और $\frac{\alpha}{\beta}$ हैं,तो $\frac{b}{k^{2}}$ का मान $......$ है।

समीकरण $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ के वास्तविक हलों की कुल संख्या क्या है? $($यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\sin ^{-1} x$ और $\tan ^{-1} x$ क्रमशः $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ और $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में मान ग्रहण करते हैं.$)$

यदि $\alpha, \beta, \gamma \neq 0$ है और $\sin ^{-1} \alpha+\sin ^{-1} \beta+\sin ^{-1} \gamma=\pi$ तथा $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\gamma+\beta)=3 \alpha \beta$ है,तो $\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\cos ^{-1} \left[ \cot \left( \sin ^{-1} \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} \right) + \cos ^{-1} \left( \frac{\sqrt{12}}{4} \right) + \sec ^{-1} \sqrt{2} \right]$ का मान है

$x, y, z$ $G$.$P$. में हैं और $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ $A$.$P$. में हैं,तो