પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P(t)$ (બધા જ ધન વાસ્તવિક $t$ માટે) આગળ દોરેલા સ્પર્શક અને અભિલંબ પરવલયની અક્ષને અનુક્રમે $T$ અને $G$ માં મળે છે. તો બિંદુ $P$ આગળ પરવલયનો સ્પર્શક અને બિંદુઓ $P, T$ અને $G$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો $P$ આગળનો સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો બે ભિન્ન શંકુઓ $x^2+y^2=4b$ અને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના છેદબિંદુઓ વક્ર $y^2=3x^2$ પર આવેલા હોય,તો છેદબિંદુઓ દ્વારા બનતા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના $3\sqrt{3}$ ગણા કેટલા થાય............................

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $b < 5$ અને $e_1 e_2 = 1$ હોય,તો યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અને ચારેય નાભિઓ (બે ઉપવલયની અને બે અતિવલયની) માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

પરવલય $y^2 = 4ax$ ના શિરોબિંદુ $O$ માંથી બે જીવાઓ $OP$ અને $OQ$ દોરવામાં આવે છે,અને $OP$ તથા $OQ$ ને વ્યાસ ગણીને દોરેલા વર્તુળો $R$ માં છેદે છે. જો $\theta_1, \theta_2$ અને $\phi$ એ પરવલય પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો અને $OR$ દ્વારા અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા હોય,તો $\cot \theta_1 + \cot \theta_2$ ની કિંમત શોધો.

બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શે છે. $\Delta PAB$ નું લંબકેન્દ્ર શોધો.

ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ ઉપવલય $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ અને પરવલય $P: y^2=12x$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો છે. ધારો કે સ્પર્શક $T_1$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_1$ અને $A_2$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને સ્પર્શક $T_2$ એ $P$ અને $E$ ને અનુક્રમે $A_4$ અને $A_3$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $35$ ચોરસ એકમ છે.
$(B)$ ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ નું ક્ષેત્રફળ $36$ ચોરસ એકમ છે.
$(C)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-3,0)$ બિંદુએ મળે છે.
$(D)$ સ્પર્શકો $T_1$ અને $T_2$ એ $x$-અક્ષને $(-6,0)$ બિંદુએ મળે છે.