एक G.P. के पद धनात्मक हैं। यदि प्रत्येक पद अप | vedclass

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Question

(A) माना $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के ब

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$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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(A) माना $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है:$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:$1 = r + r^2$$r^2 + r - 1 = 0$द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$चूंकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

एक $G.P.$ के पद धनात्मक हैं। यदि प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है,तो सार्व अनुपात क्या है:

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यदि $a_{1} (>0), a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ एक $G$.$P$. में हैं,$a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$ और $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$ है,तो $a_{2} + a_{4} + 2a_{5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक $G.P.$ के अनंत पदों का योग $x$ है और इसके प्रत्येक पद का वर्ग करने पर,योग $y$ हो जाता है। तब इस श्रेणी का सार्व अनुपात है:

$1, 2, 2^2, \dots, 2^n$ अनुक्रम का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ ज्ञात कीजिए।

यदि $1+\sin x+\sin ^{2} x+\ldots$ अनंत तक $= 4+2 \sqrt{3}$,जहाँ $0 < x < \pi$ और $x \neq \frac{\pi}{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि हम $\sqrt{2}$ और $4$ के बीच दो संख्याएँ इस प्रकार रखें कि परिणामी अनुक्रम $G.P.$ में हो, तो क्रम में रखी गई संख्याएँ हैं

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