(0, a) और (0, -a) से गुजरने वाले और y = mx + | vedclass

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Question

(C) $(0, a)$ और $(0, -a)$ से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ के रूप का होता है।यह वृत्त रेखा $mx - y + c = 0$ को

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$c^2 = a^2(2 + m^2)$

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(C) $(0, a)$ और $(0, -a)$ से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ के रूप का होता है।यह वृत्त रेखा $mx - y + c = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(-\lambda/2, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{(\lambda/2)^2 + a^2}$ के बराबर है।अतः,$\frac{|m(-\lambda/2) - 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{\lambda^2}{4} + a^2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(c - m\lambda/2)^2}{m^2 + 1} = \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.$(c - m\lambda/2)^2 = (m^2 + 1)(\frac{\lambda^2}{4} + a^2)$.$c^2 - mc\lambda + \frac{m^2\lambda^2}{4} = \frac{m^2\lambda^2}{4} + m^2a^2 + \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.$\frac{\lambda^2}{4} + mc\lambda + (a^2(m^2 + 1) - c^2) = 0$.यह $\lambda$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $\lambda_1$ और $\lambda_2$ मापदंडों वाले दो वृत्त देता है। इन वृत्तों के लंबकोणीय होने के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.यहाँ,$g_1 = \lambda_1/2, g_2 = \lambda_2/2, f_1 = 0, f_2 = 0, c_1 = -a^2, c_2 = -a^2$.अतः,$2(\frac{\lambda_1}{2})(\frac{\lambda_2}{2}) = -a^2 - a^2$ $\Rightarrow \frac{\lambda_1\lambda_2}{2} = -2a^2$ $\Rightarrow \lambda_1\lambda_2 = -4a^2$.द्विघात समीकरण से,मूलों का गुणनफल $\lambda_1\lambda_2 = 4(a^2(m^2 + 1) - c^2)$.दोनों की तुलना करने पर: $4(a^2(m^2 + 1) - c^2) = -4a^2$.$a^2(m^2 + 1) - c^2 = -a^2$.$c^2 = a^2(m^2 + 1 + 1) = a^2(m^2 + 2)$.

$(0, a)$ और $(0, -a)$ से गुजरने वाले और $y = mx + c$ रेखा को स्पर्श करने वाले दो वृत्त एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,यदि

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