$r$ का वह मान जिसके लिए $^{20}C_r \cdot ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} \cdot ^{20}C_1 + ^{20}C_{r-2} \cdot ^{20}C_2 + \dots + ^{20}C_0 \cdot ^{20}C_r$ अधिकतम है, वह है:

$5$ सही-गलत प्रकार के प्रश्नों के एक सेट के लिए,किसी भी छात्र ने सभी सही उत्तर नहीं लिखे हैं,और किन्हीं भी $2$ छात्रों ने उत्तरों का समान क्रम नहीं दिया है। यह संभव होने के लिए कक्षा में छात्रों की अधिकतम संख्या क्या है?

$8$ पुरुषों और $10$ महिलाओं में से $5$ पुरुषों और $6$ महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

एक पार्टी में $15$ व्यक्ति हैं और प्रत्येक व्यक्ति अन्य सभी व्यक्तियों के साथ एक बार हाथ मिलाता है,तो कुल हैंडशेक की संख्या क्या होगी?

'$CORPORATION$' शब्द के अक्षरों को कितनी अलग-अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है कि स्वर हमेशा एक साथ आएं?

$BALLOON$ शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि दो $L$ एक साथ न आएं?