$-{ }^{15}C_{1} 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} { }^{14}C_{5} \ldots { }^{14}C_{11}$ का मान है

मान लीजिए कि $\binom{n}{k}$ का अर्थ ${}^{n}C_{k}$ है और $\left[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right]=\begin{cases} \binom{n}{k}, & \text{यदि } 0 \leq k \leq n \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है। यदि $A_{k}=\sum_{i=0}^{9}\binom{9}{i}\left[\begin{array}{c} 12 \\ 12-k+i \end{array}\right]+\sum_{i=0}^{8}\binom{8}{i}\left[\begin{array}{c} 13 \\ 13-k+i \end{array}\right]$ और $A_{4}-A_{3}=190p$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:

विस्तार $(1+x+x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_{2n} x^{2n}$ के लिए सूची-$I$ में दिए गए व्यंजकों को सूची-$II$ में उनके मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

सही मिलान है:

यदि $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_nx^n$ है,तो $C_0 + 2C_1 + 3C_2 + .... + (n + 1)C_n$ का मान क्या होगा?

$2 \le r \le n$ के लिए,$\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 - x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{2n}x^{2n}$ है,तो $a_0 + a_2 + a_4 + .... + a_{2n} = $