यदि (1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + | vedclass

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Question

(A) दिया गया विस्तार $(1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ है।हमें $S = \sum_{r=0}^{n} (r + 1) C_r$ का मान ज्ञात करना है।इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r C_r

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$(n + 2)2^{n - 1}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया विस्तार $(1 + x)^n = \sum_{r=0}^{n} C_r x^r$ है।हमें $S = \sum_{r=0}^{n} (r + 1) C_r$ का मान ज्ञात करना है।इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r C_r + \sum_{r=0}^{n} C_r$ के रूप में लिखा जा सकता है।हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$ होता है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = n 2^{n-1} + 2^n$ प्राप्त होता है।$S = n 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n + 2) 2^{n-1}$।वैकल्पिक रूप से,$n=1$ के लिए,व्यंजक $C_0 + 2C_1 = 1 + 2(1) = 3$ है। $n=1$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $(1+2)2^{1-1} = 3(1) = 3$। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

यदि $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + .... + C_nx^n$ है,तो $C_0 + 2C_1 + 3C_2 + .... + (n + 1)C_n$ का मान क्या होगा?

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