$(1+i)^5(1-i)^7$ का मान है:

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $(\bar{z})^2+|z|=0$ के सभी शून्येतर हलों का योग और गुणनफल हैं,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है। तो $4(\alpha^2+\beta^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i \cos 2x$ और $\cos x - i \sin 2x$ एक-दूसरे की संयुग्मी (conjugate) हैं,तो

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: किन्हीं दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,
$(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|)$
कथन $II$: यदि $x, y, z$ तीन भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और $a, b, c$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $\frac{a}{|y-z|}=\frac{b}{|z-x|}=\frac{c}{|x-y|}$,तो
$\frac{a^2}{y-z}+\frac{b^2}{z-x}+\frac{c^2}{x-y}=1$
उपरोक्त दो कथनों के बीच,

$|z|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जो असमिका $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \log _{ e } 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$ को संतुष्ट करती है,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है।

यदि $z \ne 0$ एक सम्मिश्र संख्या है,तो