int_0^2 [x^2] dx का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ [x] | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंत

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$5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है। चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2]$ में इन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं। $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ पर $x^2$ के मान क्रमशः $1, 2, 3, 4$ हैं। हम समाकलन को उप-अंतरालों में विभाजित करते हैं: $I = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{3}}^2 [x^2] dx$. अंतराल $[0, 1)$ में,$0 \le x^2 अंतराल $[1, \sqrt{2})$ में,$1 \le x^2 अंतराल $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ में,$2 \le x^2 अंतराल $[\sqrt{3}, 2)$ में,$3 \le x^2 अतः,$I = \int_0^1 0 dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 dx + \int_{\sqrt{3}}^2 3 dx$. $I = 0 + (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$. $I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$. $I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

$\int_0^2 [x^2] dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

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मान लीजिए $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है, तो समाकलन $\int_{-1}^{1}(|x|-2[x]) \, dx$ का मान क्या होगा?

$\int_5^{10} \frac{d x}{(x-1)(x-2)} = $

$\int_1^5 (|x-3| + |1-x|) \, dx =$

यदि $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \,d x=\frac{k}{6}$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)} dx$ का मान है

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