int e^x left( frac{1 - sin x}{1 - cos x} righ | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \

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$-e^x \cot \frac{x}{2} + c$,(जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)

Vedclass · Answer

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान ज्ञात करना है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$ $I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$. माना $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$. चूंकि समाकलन $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,$I = e^x (-\cot \frac{x}{2}) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.

$\int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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