cot left(sum_{n=1}^{23} cot ^{-1}left(1+sum_{ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+

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$\frac{25}{23}$

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(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))ight)$ प्राप्त होता है।$x > 0$ के लिए सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} 	an ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}ight)ight)$ बन जाता है।हम $	an^{-1}$ के तर्क को $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं,जो हमें सूत्र $	an^{-1}(a) - 	an^{-1}(b) = 	an^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करने की अनुमति देता है।अतः,$\sum_{n=1}^{23} 	an ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}ight) = \sum_{n=1}^{23} (	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n))$.यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) + (	an^{-1}(3) - 	an^{-1}(2)) + \dots + (	an^{-1}(24) - 	an^{-1}(23)) = 	an^{-1}(24) - 	an^{-1}(1)$.अब,$\cot(	an^{-1}(24) - 	an^{-1}(1)) = \cot(	an^{-1}(\frac{24-1}{1+24 	imes 1})) = \cot(	an^{-1}(\frac{23}{25}))$.चूंकि $\cot(	an^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(	an^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.

$\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ जहाँ $a, x \in(0,1)$,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\tan \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1} \frac{2x}{1+x^2} + \cos^{-1} \frac{1-y^2}{1+y^2} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $|x| < 1, y>0$ और $xy < 1$ है।

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