જો રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ એ સમતલ $2x-4y+z=7$ પર આવેલી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$a$ ની તે મહત્તમ કિંમત શોધો જેના માટે રેખાઓ $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\lambda(\hat{i}+a\hat{j}-\hat{k})$ અને $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\mu(-\hat{i}+\hat{j}-a\hat{k})$ ને સમાવતા સમતલનું બિંદુ $(2,1,4)$ થી લંબ અંતર $\sqrt{3}$ હોય.

એક સીધી રેખા $\vec{r} = (1 + t)\hat{i} + 3t\hat{j} + (1 - t)\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં $t \in R$. જો આ રેખા સમતલ $x + y + cz = d$ માં આવેલી હોય,તો $(c + d)$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $l$ એ રેખાઓ $l_{1}: \overrightarrow{r}=(3+t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(4+2t)\hat{k}$ અને $l_{2}: \overrightarrow{r}=(3+2s)\hat{i}+(3+2s)\hat{j}+(2+s)\hat{k}$ ને લંબ છે. જો $l$ અને $l_{1}$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે $l_{2}$ પર આવેલા પ્રથમ અષ્ટમાંશના બિંદુના યામ $(a, b, c)$ હોય,તો $18(a+b+c)$ ની કિંમત ........ છે.

ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી સમતલ $x + 2y + z = 14$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો $R$ એ સમતલ પરનું એવું બિંદુ હોય કે જેથી $\angle PRQ = 60^{\circ}$ થાય,તો $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

જો રેખા $2(x + 1) = y = z + 4$ અને સમતલ $2x - \sqrt{\lambda} z + 4 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.