अंतराल $[2, 4]$ में फलन $f(x) = x^{2}$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में $C$ का मान है:

फलन $f(x) = e^{\cos x}$ के लिए, रोले का प्रमेय

मान लीजिए $f(x)$ एक गैर-स्थिर दो बार अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f(x)=f(1-x)$ और $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ है। तब
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर कम से कम दो बार शून्य होता है
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $(1,6)$ पर एक दो बार अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=8$,$f'(2)=5$,$f'(x) \geq 1$ और $f''(x) \geq 4$ सभी $x \in (1,6)$ के लिए है,तो:

मान लीजिए कि $f(x)$ और $g(x)$ दो फलन हैं जो सभी $x \ge x_0$ के लिए परिभाषित और अवकलनीय हैं। यदि $f(x_0) = g(x_0)$ और सभी $x > x_0$ के लिए $f'(x) > g'(x)$ है,तो:

दिया गया है $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,और $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. तो,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किसके लिए लागू $\text{नहीं}$ होता है?