|z|^2+|z-3|^2+|z-i|^2 का मान न्यूनतम होता है | vedclass

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Question

(A) माना $z = x + iy$ है। तब $|z|^2 = x^2 + y^2$,$|z-3|^2 = (x-3)^2 + y^2$,और $|z-i|^2 = x^2 + (y-1)^2$ है। माना $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2

Vedclass · Accepted Answer

$1+\frac{1}{3} i$

Vedclass · Answer

(A) माना $z = x + iy$ है। तब $|z|^2 = x^2 + y^2$,$|z-3|^2 = (x-3)^2 + y^2$,और $|z-i|^2 = x^2 + (y-1)^2$ है। माना $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2 + x^2 + (y-1)^2$ है। $f(x, y) = 3x^2 - 6x + 9 + 3y^2 - 2y + 1 = 3(x^2 - 2x) + 3(y^2 - \frac{2}{3}y) + 10$ है। $f(x, y)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $f(x, y) = 3(x-1)^2 - 3 + 3(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 10 = 3(x-1)^2 + 3(y-\frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$ है। यह फलन तब न्यूनतम होता है जब $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$ हो। अतः,$z = 1 + \frac{1}{3}i$ है।

$|z|^2+|z-3|^2+|z-i|^2$ का मान न्यूनतम होता है जब $z$ बराबर है

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