$m$ का मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए रेखा $y = mx + \frac{25\sqrt{3}}{3}$,शांकव $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ का अभिलंब है।

मान लीजिए $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1\}$,जहाँ $r \neq \pm 1$ है। तो $S$ क्या दर्शाता है?

यदि एक बाहरी बिंदु $P(h, k)$ से अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल एक स्थिरांक $k^2$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ की नाभियों के संपाती हैं। यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = 2$ है,तो उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $2x + y = 1$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ की स्पर्शरेखा है। यदि यह रेखा नियता और धनात्मक $X$-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,तो उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या है?

मान लीजिए $a>0, b>0$ है। मान लीजिए $e$ और $\ell$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। मान लीजिए $e^{\prime}$ और $\ell^{\prime}$ क्रमशः इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई हैं। यदि $e^{2}=\frac{11}{14} \ell$ और $(e^{\prime})^{2}=\frac{11}{8} \ell^{\prime}$ है,तो $77a+44b$ का मान ज्ञात कीजिए।