$m$ ની કિંમત શોધો,જેના માટે રેખા $y = mx + \frac{25\sqrt{3}}{3}$ એ શાંકવ $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ નો અભિલંબ હોય.

ધારો કે એક અતિવલય (hyperbola) ના નાભિઓ $(1, 14)$ અને $(1, -12)$ છે. જો તે $(1, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો:

ધારો કે ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ અને અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=-1$ ના નાભિ સમાન છે. જો $e$ અને $L$ અનુક્રમે $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ દર્શાવતા હોય, તો $24(e+L)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે અતિવલય $H$ ના નાભિઓ ઉપવલય $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી છે અને અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\alpha$ હોય અને તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $\beta$ હોય,તો $3 \alpha^2+2 \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

$9x^{2}-16y^{2}=144$ અને $x^{2}+y^{2}=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે

ધારો કે $C$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નું કેન્દ્ર છે અને $P$ તેના પરનું એક બિંદુ છે. જો અતિવલયના $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખાઓ $bx-ay=0$ અને $bx+ay=0$ ને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે,તો $CQ \cdot CR=$