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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^k \cdot 3^k} + \frac{1}{2^{k+1} \cdot 3^k}\right)$ है।प्रत्येक कोष्ठक

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$\frac{3}{10}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2^k \cdot 3^k} + \frac{1}{2^{k+1} \cdot 3^k}ight)$ है।प्रत्येक कोष्ठक से सामान्य पद बाहर निकालने पर: $\frac{1}{2^k \cdot 3^k} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{6^k} \cdot \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।अतः, योग $\frac{3}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{6^k}$ हो जाता है।जैसे $n ightarrow \infty$, यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{6}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{6}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/6}{1-1/6} = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5}$ होता है।इसलिए, कुल मान $\frac{3}{2} 	imes \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$ है।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{2^2 \cdot 3}\right)+\left(\frac{1}{2^2 \cdot 3^2}+\frac{1}{2^3 \cdot 3^2}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{2^n \cdot 3^n}+\frac{1}{2^{n+1} \cdot 3^n}\right)\right]$ का मान है

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